Selon le dictionnaire Le Robert, se regarder en chien de faïence signifie se considérer avec méfiance.

Faïence, nom féminin -

Forme de céramique à pâte argileuse, tendre, poreuse, recouverte d'un enduit imperméable et opaque. (Dictionnaire Larousse)

L'étymologie de l'expression "se regarder en chien de faïence" nous ramène au 16e siècle, dans la ville de Faenza (nom d'origine de faïence), en Italie du nord-est. A l'époque, la faïence devient à la mode et c'est une centaine d'années plus tard que sera employée l'expression "se regarder en chien de faïence". A cette époque, il était usage de décorer les cheminées et les bibliothèques de bibelots, et notamment de chiens en faïence disposés face à face, ce qui leur donnait l'air de se dévisager avec un air de défi. L'expression tire donc son origine de là.

Ce n'est cependant pas la seule formulation à cette expression. Dans les pays anglo-saxons, on dit "to look daggers at each others", c'est-à-dire "se regarder en lançant des poignards". Au Brésil on préfère la formule "fuzilar com os ohlos", pour "fusiller du regard". (Source : Europe1)