Laissez moi vous conter de certaines de mes récentes spéculations, mes prospections d'idées.

Je commencerai par vous exposer un souvenir ancien de mes cours de mathématiques, anecdote certes non neuve mais ma foi sympathique, une des méthodes de constructions des entiers naturels (0,1,2,3....) , la plus élémentaire, mais également la plus abstraite.

Afin de mener à bien la construction, il suffit d'un élément de départ (0) et d'une fonction, un mécanisme pour passer d'un nombre au suivant : de 0 à 1, de 1 à 2.... Une fois ces deux outils à disposition, il est aisé de reconstituer la totalité des nombres entiers.

La démarche est de considérer les nombres comme des ensembles.Un ensemble est un gros sac contenant des éléments (visualisez un sac de billes ou de bonbons). Un ensemble peut en inclure un autre (on peut par exemple rangez le sac de bille dans un cartable). Deux ensembles sont égaux s'ils s'incluent mutuellement l'un l'autre (c'est à dire qu'ils ont les mêmes éléments), si deux sacs ont exactement les mêmes bonbons , nous les considérons comme identiques.

Pour commencer nous n'avons rien, nada, le vide. Fort bien, prenons cet ensemble vide, ce sac qui ne contient rien, et appelons le zéro : ∅ = {} = 0 . Nous avons notre premier nombre! Il est logique que zéro soit analogue au vide car lorsqu'on ajoute 0 à un autre nombre c'est comme s'il ne se passait rien.

Puis, Pour passer d'un nombre au suivant, nous considérerons un ensemble, un gros sac, qui contient tous les éléments précédents : le sac "1" contient l’élément 0, le sac "2"a pour élément 0 et 1, et ainsi de suite...

Ainsi, pour obtenir notre deuxième nombre, considérons un sac contenant l’élément zéro, c'est à dire un sac qui contient le sac vide, et nommons le un : { ∅ } = {0} = 1. Ce sac n'est donc pas vide puis qu'il contient un élément, le 0 !

Comment ? Vous êtes dubitatifs, circonspects par cet enchaînement cavalier. Ce chiffre 1 est-il vraiment différent du zéro ?

Tout d'abord, nous pouvons remarquer que le zéro, le rien est bien contenu dans 1 : le sac qui contient le sac qui ne contient rien contient en effet le sac qui ne contient rien, c'est à dire l'ensemble vide ou le 0, ce que l'on note : ∅ ⊂ {∅} , pour dire que zéro est inclus dans 1.

En revanche, l'inverse n'est pas vrai : 1 n'est pas inclus dans 0. En effet, 0 est l'ensemble vide, qui ne contient rien, par définition. Or 1, nous l'avons dit est un sac qui contient l’élément zéro, il a donc un élément et n'est pas vide. Donc, sous peine de contradiction, 0 ne peut pas contenir 1, 0 et 1 n'ont pas le même nombre d'éléments : {∅} ⊄ ∅ . Zéro n'est donc pas égal à un : 0 ≠ 1.

Pour la suite, vous connaissez la musique , prenons un sac qui contient un sac vide (le 0) ainsi qu'un sac qui contient un sac vide (le 1), ce nouveau sac a deux éléments, nommons le donc 2, 2 = {0,1}. Il contient les deux ensembles précédents, mais pour les mêmes raisons que précédemment, 0 et 1 sont bien différents de 2.

Répétons l'opération pour 3 = {0,1,2} ou en toute lettre :

"3 est le sac contenant trois éléments :

- le sac vide,

- le sac qui contient le sac vide

- le sac qui contient à la fois le sac vide et le sac qui contient le sac vide "

Puis viennent 4 ={0,1,2,3}, 5 ={0,1,2,3,4} ... puis n ={0,1,2,3,...,n-1} et ainsi de suite jusqu'à l'infini !

Je vous avoue que j'ai été dérouté la première fois que l'on m'a exposé cette démonstration et à la fois fasciné : en partant de rien l'on construit la totalité infinie des nombres entiers !

j'ai fait mon possible pour la rendre accessible et compréhensible mais la théorie des ensembles est assez abstraite et source de confusions ^^' (On raconte que son inventeur, le mathématicien Cantor en serait devenu fou) . J'espère néanmoins avoir pu susciter votre intérêt pour cette matière si particulière !